Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，3a_n+1+4S_n=3（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S=a₁+a₂+…+a_n+…，若对任意正整数n，kS＜S_n恒成立，求k的取值范围？
（3）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为T_n，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N^*，均有T_n∈A．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）3a_n+1+4s_n=3，3a_n+4s_n-1=3，两式相减，得3a_n+1-3a_n+4（S_n-S_n-1）=0，由此能求出数列{a_n}是等比数列，即可求出数列{a_n}的通项公式．
（2）将k进行分离，然后讨论n的奇偶，根据数列的单调性可求函数的最值，由此能求出k的最大值．
（3）讨论a与1的大小，求出集合A，当a≥1时，T₂=a+a²，T₂∈A，可求出a，当0＜a＜1时求出T_n的范围，对任意的n∈N^*，要使T_n∈A，建立关于a的不等关系，解之即可．
解答：解：（1）由题意知，当n≥2时，两式相减变形得：
又n=1时，，于是  …（1分）
故 {a_n}是以a₁=1为首项，公比的等比数列∴…（4分）
（2）由得 =f（n）…（5分）
当n是偶数时，f（n）是n的增函数，于是，故…（7分）
当n是奇数时，f（n）是n的减函数，因为，故k≤1．…（9分）
综上所述，k的取值范围是…（10分）
（3）①当a≥1时，A={x|1≤x≤a}，T₂=a+a²，若T₂∈A，则1≤a+a²≤a．得
此不等式组的解集为空集．
即当a≥1时，不存在满足条件的实数a．…（13分）
②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}．
而是关于n的增函数．
且．…（15分）
因此对任意的n∈N^*，要使T_n∈A，只需解得．…（18分）
点评：本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式和数列的综合应用，属于中档题．