Question

设f(x)=alnx+

1

2x

+

3

2

x+1（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，由f′（1）=0求解a的值；
（2）把a=-1代入函数f（x）的解析式，求出导函数，由导函数小于0求得函数的减区间，导函数大于0求得函数的增区间，并求出最小值．

解答：解：（1）由f(x)=alnx+

1

2x

+

3

2

x+1，得
f′(x)=

a

x

-

1

2x2

+

3

2

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，
则f′（1）=0，
即a-

1

2

+

3

2

=0，解得：a=-1；
（2）f(x)=-lnx+

1

2x

+

3

2

x+1．
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=-

1

x

-

1

2x2

+

3

2

=

-2x-1+3x2

2x2

．
由f′（x）=0，得：x=-

1

3

或x=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；
当x=1时，函数f（x）取得极小值，为f(1)=-ln1+

1

2

+

3

2

+1=3．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．