Question

我缉私巡逻艇在一小岛南50°西的方向，距小岛A12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北10°西方向行驶，测得其速度为每小时10海里，问我巡逻艇须用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两小时后截获该走私船？（必要时，可参考下列数据sin38°≈0.62）

Answer 1

分析：由题意AC射线即为走私船航行路线．假设我巡逻艇恰在C处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小时v海里，则要使恰在两小时后截获该走私船，所以BC=2v，AC=20．又由于∠BAC=180°-50°-10°=120°，在三角形ABC中，由余弦定理可得BC=28，从而可求速度v，利用正弦定理，可求∠ABC=38°，从而可求我巡逻艇的航行方向．

解答：解：由题意AC射线即为走私船航行路线．
假设我巡逻艇恰在C处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小时v海里，则BC=2v，AC=20．
依题意，∠BAC=180°-50°-10°=120°，
由余弦定理：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos120°=784
∴BC=28=2v，
∴v=14海里/h，
又由正弦定理，sin∠ABC=

ACsin∠BAC

BC

=

20× 3 2

28

≈0.62
∴∠ABC=38°，
∴∠EBC=50°-38°=12°
即我巡逻艇须用每小时14海里的速度向北12°东的方向航行才能恰在两小时后截获走私船．

点评：本题以实际问题为素材，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，解题的关键是构建三角形的模型，合理运用正弦、余弦定理