Question

（2012•唐山二模）在直角坐标系xOy中，长为

2

+1的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，

CP

=

2

PD

．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，

OM

=

OA

+

OB

，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），由|

CD

|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OM

=

OA

+

OB

，知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．设直线l的方程为y=kx+1．代入曲线E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，由此能求出平行四边形OAMB的面积．

解答：解：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），
∴

x-m=- 2 x y= 2 (n-y)

．（2分）
由|

CD

|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，
∴（

2

+1）²x²+

( 2 +1)2

2

y²=（

2

+1）²，
整理，得曲线E的方程为x²+

y2

2

=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OM

=

OA

+

OB

，知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得
（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

，…（7分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
由点M在曲线E上，知（x₁+x₂）²+

(y1+y2 )2

2

=1，
即

4k2

(k2+2)2

+

8

(k2+2)2

=1，解得k²=2．…（9分）
这时|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

3(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 2

2

，
原点到直线l的距离d=

1

1+k2

=

3

3

，
平行四边形OAMB的面积S=|AB|•d=

6

2

．…（12分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查四边形面积的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．