Question

已知函数f(x)=1-

4

2ax+a

(a＞0，a≠1)是定义在实数集R上的奇函数．
（1）求a的值，判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；
（2）当x∈（0，1）时，mf（x）＞2^x-2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的性质，可知f（0）=0，即可求出a，设x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁），化简判断符号，即可证明函数的单调性；
（2）将f（x）代入不等式化简可得，（2^x）²-（m+1）2^x+m-2＜0对x∈（0，1）恒成立，然后利用换元法转化成二次函数恒成立，列出不等式组，求解即可得实数m的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=1-

4

2ax+a

(a＞0，a≠1)是定义在实数集R上的奇函数，
∴f（0）=0，可得a=2，
∴f(x)=1-

2

2x+1

．
设x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的单调递增函数．
（2）由题意，当x∈（0，1）时，mf（x）＞2^x-2恒成立，即（2^x）²-（m+1）2^x+m-2＜0对x∈（0，1）恒成立，
令t=2^x，
∵x∈（0，1），
∴t∈（1，2），
∴t²-（m+1）t+m-2＜0对于t∈（1，2）恒成立，
令g（t）=t²-（m+1）t+m-2，
则有

g(1)≤0 g(2)≤0

⇒

1-(m+1)+m-2≤0 4-2(m+1)+m-2≤0

⇒m≥0，
∴m的取值范围是m≥0．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性的定义在证明函数的单调性的应用，抽象函数的单调性在求解不等式中的应用，属于函数知识的综合应用．