Question

已知函数f（x）=-1+2

3

sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的单调性可求得函数f（x）的单调减区间；
（2）令sin（2x+

π

6

）=0求得x的坐标，再找到与原点最近的点即可．

解答：解：f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
（1）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴f（x）的单调减区间为(kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

)（k∈Z），
（2）由sin（2x+

π

6

）=0，得2x+

π

6

=kπ（k∈Z），
即x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z）．
∴f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标是（-

π

12

，0）．

点评：本题主要考查二倍角公式和两角和与差的公式的应用，考查正弦函数的对称性．三角函数的公式比较多，不容易记，平时要多记多练，才能在考试中做到灵活运用．