Question

已知直线l：x+y-1=0与圆C：x²+y²-4x+3=0相交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）若P（x，y）为圆C上的动点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）方法一：把直线的方程和圆的方程联立方程组，求得A、B的坐标，利用两点间的距离公式求得|AB|．
方法二：由圆方程得圆心C（2，0），过点C作CM⊥AB交AB于点M，连接CA，求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求得弦长|AB|．
（2）令，则y=kx，把y=kx代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，根据判别式大于或等于零，求得k的范围
解答：解：（1）方法一：由，求得x²+（1-x）²-4x+3=0． …（2分）
解得x₁=1，x₂=2，…（4分）
从而 y₁=0，y₂=-1．A（1，0），B（2-1），…（5分）
所以．        …（6分）
方法二：由圆方程得圆心C（2，0），过点C作CM⊥AB交AB于点M，连接CA，…（2分）
则，|CA|=1，…（4分）
所以．…（6分）
（2）令，则y=kx．    …（7分）
由得（1+k²）x²-4x+3=0．     …（9分）
依题意有△=16-12（1+k²）=4-12k²=4（1-3k²）≥0，即．…（11分）
解不等式，得 …（13分）
故的取值范围是．     …（14分）
点评：本小题主要考查直线和圆相交，相切的有关性质，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．