题目内容

对集合A，如果存在x使得对任意正数a，都存在x∈A，使0＜|x-x|＜a，则称x为集合A的“聚点”，给出下列四个集合：
①；
②{x∈R|x≠0}；
③；
④Z．
其中以0为“聚点”的集合是（ ）
A．②③
B．①②
C．①③
D．②④
【答案】分析：利用“聚点”的定义可得①的聚点是1，②的聚点是0，③的聚点是0，而④无聚点．
解答：解：①令f（n）=，则=，即f（n）=当n∈N时单调递增，则1为其“聚点”，下面给出证明：
取x=1，对任意正数a，要使成立，只要取正整数，故1是其“聚点”；
②由实数的稠密性可知：对任意正数a，都存在x=∈{x∈R|x≠0}，使0＜|x-0|＜a成立，故0是此集合的“聚点”；
③∵，由（1）可知：0为集合{}，根据“聚点”的定义可知，0是其聚点；
④?n∈Z，且n≠0，则|n|≥1，故取0＜a＜1，则不存在x∈Z，使0＜|x-x|＜a成立，根据“聚点”的定义可知：所给集合不存在聚点．
综上可知：只有②③正确；
故选A．
点评：正确理解函数的单调性、实数的稠密性、聚点的定义是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
（2013•湛江二模）对集合A，如果存在x0使得对任意正数a，都存在x∈A，使0＜|x-x0|＜a，则称x0为集合A的“聚点”，给出下列四个集合：
①{
n
n+1
|n∈Z，n≥0}；
②{x∈R|x≠0}；
③{
1
n
|n∈Z，n≠0}；
④Z．
其中以0为“聚点”的集合是（　　）
对集合A，如果存在x0使得对任意正数a，都存在x∈A，使0＜|x-x0|＜a，则称x0为集合A的“聚点”，给出下列四个集合：
①{
n
n+1
|n∈Z，n≥0}；
②{x∈R|x≠0}；
③{
1
n
|n∈Z，n≠0}；
④Z．
其中以0为“聚点”的集合是（　　）
A．②③B．①②C．①③D．②④
A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；
（1）设，证明：Φ（x）∈A；
（2）设Φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=Φ（2x），那么，这样的x是唯一的；
（3）设Φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，
证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式成立．
A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）设φ（x）=，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么这样的x是唯一的．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网