Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x，函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）求函数g（x）的极小值；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），证明：

1

x2

＜k＜

1

x1

．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用由函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴，可得：g′（1）=0，即可求a的值；
（2）确定函数的单调性，即可求函数g（x）的极小值；
（3）表示出直线的斜率，再构造函数，研究函数的单调性，即可证明结论．

解答：（1）解：依题意得g（x）=lnx+ax²-3x，则g′(x)=

1

x

+2ax-3．
由函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴得：g′（1）=1+2a-3=0
∴a=1；
（2）解：函数g（x）的定义域为（0，+∞）．
由（1）得g′(x)=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

令g′（x）=0得x=

1

2

或x=1．
∴函数故（x）在（0，

1

2

），（1，+∞）上单调递增，在（

1

2

，1）单调递减．
故函数g（x）的极小值为g（1）=-2；
（3）证明：依题意得k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
∴lnx₂-kx₂=lnx₁-kx₁，
令h（x）=lnx-kx，则h′（x）=

1

x

-k，
由h′（x）=0得x=

1

k

，当x＞

1

k

时，h′（x）＜0，当0＜x＜

1

k

时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，

1

k

）单调递增，在（

1

k

，+∞）单调递减，
又h（x₁）=h（x₂），
∴x1＜

1

k

＜x2，即

1

x2

＜k＜

1

x1

．．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，利用导数确定函数的单调性是关键．