Question

已知圆心为C的圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线kx-y+5=0被圆C截得的弦长为8，求k的取值．

Answer 1

分析：（1）由圆C经过A和B，线段AB为圆C的弦，由A和B的坐标求出直线AB的斜率，利用线段中点坐标公式求出AB的中点坐标，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1得出线段AB垂直平分线的斜率，表示出垂直平分线的方程，与直线l联立组成方程组，求出方程组的解得到交点坐标，即为圆心C的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|，即为圆C的半径，写出圆C的标准方程即可；
（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理及勾股定理求出弦心距d的值，再由圆心C坐标和直线kx-y+5=0，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：（1）∵点A（-1，1）和B（-2，-2），
∴k_直线AB=

-2-1

-2+1

=3，线段AB的中点坐标为（-

3

2

，-

1

2

），
∴线段AB垂直平分线方程为y+

1

2

=-

1

3

（x+

3

2

），即x+3y+3=0，
与直线l联立得：

x+y-1=0 x+3y+3=0

，
解得：

x=3 y=-2

，
∴圆心C坐标为（3，-2），
∴半径|AC|=

(-1-3)2+(1+2)2

=5，
则圆C方程为（x-3）²+（y+2）²=25；
（2）∵圆C半径为5，弦长为8，
∴圆心到直线kx-y+5=0的距离d=

52-42

=3，即

|3k+7|

k2+1

=3，
解得：k=-

20

21

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，线段中点坐标公式，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．