Question

已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小；
(Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积．

Answer 1

(Ⅰ)证明：连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK， 因为点M是棱AA′的中点，点D是BD′的中点， 所以，所以， 由AA′⊥AK，得MO⊥AA′， 因为AK⊥BD，AK⊥BB′， 所以AK⊥平面BDD′B′， 所以AK⊥BD′，所以MO⊥BD′， 又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交， 故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线． (Ⅱ)解：取BB′的中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC′B′， 过点N作NH⊥BC′于H，连结MH，则由三垂线定理得，BC′⊥MH， 从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角， ， 在Rt△MNH中，， 故二面角M-BC′-B′的大小为。 (Ⅲ)解：易知，S△OBC=S△OA′D′，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内， 点O到平面MA′D′的距离， 。