题目内容
在△ABC中，a、b、c分别为角ABC的对边，已知向量
=（a+b，c），
=（b-a，c-b），且|
+
|=|
-
|，
（1）求角A的值；
（2）若a=
，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的值域．
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
（1）求角A的值；
（2）若a=
| 3 |
分析：（1）由条件可得b2+c2-a2-bc=0，利用余弦定理求出cosA=
，从而得到角A的值．
（2）由A=
及a=
，利用正弦定理可得
=
=
，求出b、c的值，根据两角和差的正弦公式，化简周长y=a+b+c为
+2
sin（x+
），再根据
x的范围及正弦函数的定义域和值域求出 y=f（x）的值域．
| 1 |
| 2 |
（2）由A=
| π |
| 3 |
| 3 |
| ||
sin
|
| b |
| sinx |
| c | ||
sin(
|
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
x的范围及正弦函数的定义域和值域求出 y=f（x）的值域．
解答：解：（1）∵向量
=（a+b，c），
=（b-a，c-b），且|
+
|=|
-
|，
∴
2+
2+2
•
=
2+
2-2
•
，∴
•
=0，
即 （a+b ）（b-a）+c（c-b）=0，∴b2+c2-a2-bc=0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosA=
=
，∴A=
．
（2）由A=
及a=
，利用正弦定理可得
=
=
，
∴b=2sinx，c=2sin（
-x），0＜x＜
．
∴周长y=a+b+c=
+2sinx+2 sin（
-x）=
+2sinx+2 （
cosx+
sinx）=
+2
sin（x+
）．
∵0＜x＜
，∴
＜x+
＜
，
＜sin（x+
）≤1，∴
＜2
sin（x+
）≤2
，2
＜y≤3
．
故 y=f（x）的值域为（2
，3
]．
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
∴
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
即 （a+b ）（b-a）+c（c-b）=0，∴b2+c2-a2-bc=0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）由A=
| π |
| 3 |
| 3 |
| ||
sin
|
| b |
| sinx |
| c | ||
sin(
|
∴b=2sinx，c=2sin（
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴周长y=a+b+c=
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵0＜x＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
故 y=f（x）的值域为（2
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
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A、
| ||||
| B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
|