Question

设数列{a_n}为等差数列，{b_n}为单调递增的等比数列，且a₁+a₂+a₃=-27，b₁b₂b₃=512，a₁+a₁=|b₂+b₂|=a₃+a₃
（1）求a₂+b₂的值及数列{a_n}，{b_n}的通项；
（2）若c_n=

bn	(bn-2)(bn-1)

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）通过等差照相与等比中项直接求出a₂与b₂即可求出a₂+b₂的值，利用a₁+a₁=|b₂+b₂|=a₃+a₃
列出关系式，求出公差与公比，即可求出数列{a_n}，{b_n}的通项；
（2）通过{b_n}的通项，化简数列{c_n}的通项公式，利用裂项法直接求解数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由题意a₁+a₂+a₃=-27，得a₂=-9，
∵b₁b₂b₃=512，∴b₂=8，
所以a₂+b₂=-1，
设a₁=-9-d，a₃=-9+d，b₁=

8

q

，b₃=8q，
得

-9-d+ 8 q =1 -9+d+8q=1

，解得

q=2 d=-6

或

q= 1 2 d=6

（舍去）
b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
a_n=-3+（n-1）×（-6）=3-6n．
（2）c_n=

bn

(bn-2)(bn-1)

=

2n+1

(2n+1-2)(2n+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

．
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

=

2n+1-2

2n+1-1

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，裂项法求解数列和的方法，考查转化思想以及计算能力．