Question

已知二次函数f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100（n∈N^*）．
（1）设函数y=f（x）的图象的顶点的横坐标构成数列{a_n}，求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若数列{c_n}满足c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

（n∈N^*），求数列{c_n}中最大的项和最小的项．

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）的图象的顶点的横坐标为x=-

b

2a

=10-3n，推导出a_n-a_n-1=-3．由此能证明{a_n}是等差数列．
（2）由c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

2

2n-5

，分类讨论，能求出{c_n}中最小的项和最大的项．

解答：解：（1）证明：y=f（x）的图象的顶点的横坐标为x=-

b

2a

=-

-2(10-3n)

2

=10-3n，
∴a_n=10-3n，…（3分）
∴a_n-a_n-1=-3．…（5分）
∴{a_n}是等差数列．…（6分）
（2）∵c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

1

4n- 25 2 +10-3n

=1+

2

2n-5

，…（8分）
当n≤2时，

2

2n-5

＜0，且c₁＞c₂，…（10分）
当n≥3时，

2

2n-5

＞0且c_n＞c_n+1．…（12分）
∴{c_n}中最小的项为c₂=-1，最大的项为c₃=3．…（13分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列中最大项和最小项的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．