Question

【题目】如图，已知焦点在x轴上的椭圆 =1（b＞0）有一个内含圆x2+y2= ，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且 ⊥ （O为原点）．

（1）求b的值；
（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B．求证： ，并求| |的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当MN⊥x轴时，MN的方程是x=± ，

设M（± ，y1），N（± ，﹣y1），

由 ⊥ 知|y1|= ，

即点（ ， ）在椭圆上，代入椭圆方程得b=2

（2）证明：当l⊥x轴时，由（1）知 ；

当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx﹣y+m=0

则 = ，即3m2=8（1+k2）

y=kx+m代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）= （4k2+1）＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则x1+x2= ，x1x2= ，

所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2= =0，即 ．

即椭圆的内含圆x2+y2= 的任意切线l交椭圆于点A、B时总有 ．

当l⊥x轴时，易知|AB|=2 =

当l不与x轴垂直时，|AB|= =

设t=1+2k2∈[1，+∞）， ∈（0，1]

则|AB|= =

所以当 = 即k=± 时|AB|取最大值2 ，

当 =1即k=0时|AB|取最小值 ，

综上|AB|∈

【解析】（1）设出M，N的坐标，利用 ⊥ 知|y1|= ，即点（ ， ）在椭圆上，代入椭圆方程，即可求b的值；（2）分类讨论，当l⊥x轴时，由（1）知 ；当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，利用韦达定理证明x1x2+y1y2=0即可，利用弦长公式，结合换元、配方法，即可确定|AB|的取值范围．