Question

（08年惠州一中一模理） 在周长为定值的，且当顶点C位于定点P时，有最小值为。

（1）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程。

（2）过点A作直线与（1）中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合。

Answer 1

解析：（1）以AB所在直线为轴，线段AB的中垂线为轴建立直角坐标系。

设

所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，焦距

因为

又

所以，由题意得＝

所以

此时

所以P点的轨迹方程为

（2）不妨设A点的坐标为A（－3，0），M（），N（），当直线MN的倾斜角不为时，设其方程为

代入椭圆方程化简，得

显然有

                 

又

所以

              

只要考虑的最小值，即考虑1－取最小值，

显然，

当直线MN的倾斜角为时， ，得

但

故，这样的M、N不存在。

即。