Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BE⊥PD，可以通过证明PD⊥面ABE得出．利用BA⊥面PAD得出BA⊥PD，结合△PAD为等腰直角三角形．得出AE⊥PD，能证明PD⊥面ABE．
（Ⅱ）连接AC，，在四边形ABCD中，先得出∠ACD=90°，结合PA⊥CD，得出∠PCA为二面角P-CD-A的平面角，在RT△PAC中求解即可．

解答：（Ⅰ）证明：连接AE．
∵PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，
∴∠PDA=45°，△PAD为等腰直角三角形．
∵点E是PD的中点∴AE⊥PD，
PA⊥底面ABCD，PA?面PAD，
∴面PAD⊥底面ABCD，
而面PAD∩底面ABCD=AD，∠BAD=90°，∴BA⊥AD，∴BA⊥面PAD，PD?面PAD，∴BA⊥PD，AE∩BA=A，∴PD⊥面ABE，
BE?面ABE，∴BE⊥PD．


（Ⅱ）解：

连接AC，∠PCA为二面角P-CD-A的平面角．
取AD中点F，连接CF，∠BAD=90°，AB=BC=1，四边形ABCF是正方形，∠ACF=45°，又AD=2，
∴FD=CF=1，∠FCD=45°，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．又PA⊥CD，
∴CD⊥面PAC，
∴PC⊥CD，即∠PCA为二面角P-CD-A的平面角．
在RT_△PAC中，AC=

2

，PA=AD=2，PC=

AC2+PA2

=

6

．cos∠PCA=

AC

PC

=

2

6

=

3

3

．所以二面角P-CD-A的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．