Question

设函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x．
（1）求f（x）的周期以及单调增区间；
（2）当f(x)=

5

3

(-

π

6

＜x＜

π

6

)时，求sin2x．

Answer 1

（1）f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1-cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

故函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1=

5

3

∴sin（2x+

π

6

）=

1

3

，且-

π

6

＜x＜

π

6

∴cos（2x+

π

6

）＞0
∴cos（2x+

π

6

）=

1- 1 9

=

2 2

3

sin2x=sin（2x+

π

6

-

π

6

）=

1

3

×

3

2

-

2 2

3

×

1

2

=

3 -2 2

6

．