题目内容
4．定义在R上的函数f（x）对任意0＜x2＜x1都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1．且函数y=f（x）的图象关于原点对称，若f（2）=2，则不等式f（x）-x＞0的解集是（ ）| A． | （-2，0）∪（0，2） | B． | （-∞，-2）∪（2，+∞） | C． | （-∞，-2）∪（0，2） | D． | （-2，0）∪（2，+∞） |
分析 根据已知中函数y=f（x）的图象关于原点对称，f（2）=2，且任意0＜x2＜x1都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1．分x＞2时，0＜x＜2时，-2＜x＜0时，x＜-2时四种情况讨论，可得不等式f（x）-x＞0的解集．
解答 解：令x1=x＞2，x2=2，则0＜x2＜x1，
则有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{f（x）-f（2）}{x-2}$=$\frac{f（x）-2}{x-2}$＜1，
即f（x）-2＜x-2，
即x＞2时，f（x）-x＜0，
令0＜x=x2＜2，x1=2，则0＜x2＜x1，
则有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{f（2）-f（x）}{2-x}$=$\frac{f（x）-2}{x-2}$＜1，
即f（x）-2＞x-2，
即0＜x＜2时，f（x）-x＞0，
又由函数y=f（x）的图象关于原点对称，
∴-2＜x＜0时，f（x）-x＜0，
x＜-2时，f（x）-x＞0，
综上可得：不等式f（x）-x＞0的解集（-∞，-2）∪（0，2），
故选：C
点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，分类讨论思想，难度中档．
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| A． | -2 | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{4}{3}$ | D． | $\frac{2}{5}$ |
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