Question

设Ｐ，Ｑ为圆周上的两动点，且满足与圆内一定点，使，求过Ｐ和Ｑ的两条切线的交点M的轨迹。

Answer 1

轨迹是以为圆心，为半径的圆周

解法一：连接PQ，OM，由圆的切线性质知，且PQ与OM交点E为PQ的中点。
…………5分
设，则，。从而得到E点的坐标为
。                                 …………10分
由于，所以。又，于是有
，即有
                  ………… 15分
化简得。
上述为以为圆心，为半径的圆周。          …………20分
解法二：设Ｐ，Ｑ的坐标为。由题意知，过Ｐ，Ｑ的切线方程分别为
　　　…………①，    …………②
      …………③
      …………④      ………… 5分
由，得
 …………⑤
若①和②的交点仍记为，由此得到 ()              ………… 10分
代入③和④，得
    
   
联立上述两式，即得
           ………… 15分
因为，所以，即。
同理可得。于是有

再由⑤式，推出。
由上可得，。
即有。
上述为以为圆心，为半径的圆周。                    …………20分
当时，也符合题设所求的轨迹。