题目内容

已知函数 $数学公式$ sin（π-x）cosx，
（1）求函数f（x）在 $数学公式$ 上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA．

解：化简函数为：f（x）=2cos²x+2 $\text{[math]}$ ，
（1）当 $\text{[math]}$ 时，2x+ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，2sin（2x）+1∈[0，3]，即f（x）∈[0，3]；
∴函数f（x）的值域为[0，3]．
（2）由条件知 $\text{[math]}$ ，
即： $\text{[math]}$ ，0＜C＜π，所以C= $\text{[math]}$ ，
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），
∴2sinB=cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC），
∴sinB=sinAsinC，由C= $\text{[math]}$ ，A+B+C=π可得：
sin（A+C）= $\text{[math]}$ sinA，即sinAcosC+cosAsinC= $\text{[math]}$ sinA，
所以： $\text{[math]}$ tanA，
解得：tanA= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用三角函数的降幂公式与倍角公式，辅助角公式将函数 $\text{[math]}$ sin（π-x）cosx转化为：
y=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由x∈ $\text{[math]}$ ?2x+ $\text{[math]}$ ，由正弦函数的图象与性质可求得函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的值域；
（2）由 $\text{[math]}$ ，0＜C＜π?C= $\text{[math]}$ ；2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）?sinB=sinAsinC
?sin（A+C）=sinAsinC，展开整理即可求得tanA．
点评：本题考查复合三角函数的单调性，（1）中难点在于由x∈ $\text{[math]}$ ?2x+ $\text{[math]}$ ，再利用正弦函数的图象与性质予以解决，（2）着重考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．