Question

设F₁，F₂分别是椭圆：的左、右焦点，过F₁倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点M（0，-1）满足|MP|=|MQ|，求该椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线l的方程为y=x+c，与椭圆方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，得P、Q横坐标之和与横坐标之积关于a、b、c的式子．再用弦长公式结合PQ的长度为，列出关于a、b、c的方程，化简整理可得a=b，由此不难求出该椭圆的离心率．
（2）根据|MP|=|MQ|，得M点在PQ的中垂线上，由此结合（1）中的条件，列出关于c的方程并解之得c=3，再根据离心率算出a、b之值，即可得到该椭圆的方程．
解答：解：（Ⅰ）由直线PQ斜率为1，可设直线l的方程为y=x+c，其中c=．…（2分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则两点坐标满足方程组
消去y，整理得（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0，
可得：
∵，∴
由此可得
即（）²-4（）²=．…（6分）
整理，得a²=2b²，a=b
∴椭圆的离心率e===．…（8分）
（Ⅱ）设PQ 中点为N（x，y），由（1）知
x===-，y=x+c=c．
由|MP|=|MQ|，得MN与直线y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）
∴=-1，即=-1，解得c=3，从而a=3，b=3．
因此，椭圆的方程为+=1…（12分）
点评：本题给出直线与椭圆相交，在已知弦长的情况下求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的基本概念、简单几何性质和直线与椭圆的位置关系等知识，属于基础题．