题目内容
设F1、F2分别是椭圆E：
+
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为k的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．
（1）若a=1，求|AB|的值；
（2）若k=1，设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求椭圆E的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若a=1，求|AB|的值；
（2）若k=1，设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求椭圆E的方程．
分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点（-c，0），则直线l：y=x+c，由题意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|，由椭圆的性质能导出|AB|+2|AB|=4a，再由a=1，能求出|AB|的值．
（2）由PA=PB，知（x1+1）2+y12=（x2+1）2+yy22，所以（x1-x2）（x1+x2+2）+（y1-y2）（y1+y2）=0．把y=x+c代入，得（x1-x2）（x1+x2+2）+[（x1+c）-（x2+c）][（x1+c）+（x2+c）]=0，从而导出（-
）+1+c=0，再由e=
=
，能推导出椭圆方程．
|AF2|+|BF2|=2|AB|，由椭圆的性质能导出|AB|+2|AB|=4a，再由a=1，能求出|AB|的值．
（2）由PA=PB，知（x1+1）2+y12=（x2+1）2+yy22，所以（x1-x2）（x1+x2+2）+（y1-y2）（y1+y2）=0．把y=x+c代入，得（x1-x2）（x1+x2+2）+[（x1+c）-（x2+c）][（x1+c）+（x2+c）]=0，从而导出（-
| 2a2c |
| 2a2-c2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
解答：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点（-c，0），
则直线l：y=x+c
由题意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|，
∵|AF1|+|AF2|=2a，①
|BF1|+|BF2|=2a，②
①+②得
（|AF1|+|BF1|）+（|AF2|+|BF2|）=4a，
即|AB|+2|AB|=4a，
∵a=1，
∴|AB|=
=
．
（2）∵PA=PB，
∴（x1+1）2+y12=（x2+1）2+yy22，
∴（x1+1）2-（x2+1）2+y12-y22=0
（x1-x2）（x1+x2+2）+（y1-y2）（y1+y2）=0
把y=x+c代入，得
（x1-x2）（x1+x2+2）+[（x1+c）-（x2+c）][（x1+c）+（x2+c）]=0，
（x1-x2）（x1+x2+2）+（x1-x2）（x1+x2+2c）=0
（x1-x2）[2（x1+x2）+2+2c]=0
∵x1≠x2，即x1-x2≠0
∴2（x1+x2）+2+2c=0
∴x1+x2+1+c=0
即（-
）+1+c=0，
∵e=
=
，即a2=2c2
代入上式，得
c=3
∴a2=18，b2=9
椭圆方程为
+
=1．
则直线l：y=x+c
由题意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|，
∵|AF1|+|AF2|=2a，①
|BF1|+|BF2|=2a，②
①+②得
（|AF1|+|BF1|）+（|AF2|+|BF2|）=4a，
即|AB|+2|AB|=4a，
∵a=1，
∴|AB|=
| 4a |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
（2）∵PA=PB，
∴（x1+1）2+y12=（x2+1）2+yy22，
∴（x1+1）2-（x2+1）2+y12-y22=0
（x1-x2）（x1+x2+2）+（y1-y2）（y1+y2）=0
把y=x+c代入，得
（x1-x2）（x1+x2+2）+[（x1+c）-（x2+c）][（x1+c）+（x2+c）]=0，
（x1-x2）（x1+x2+2）+（x1-x2）（x1+x2+2c）=0
（x1-x2）[2（x1+x2）+2+2c]=0
∵x1≠x2，即x1-x2≠0
∴2（x1+x2）+2+2c=0
∴x1+x2+1+c=0
即（-
| 2a2c |
| 2a2-c2 |
∵e=
| c |
| a |
| ||
| 2 |
代入上式，得
c=3
∴a2=18，b2=9
椭圆方程为
| x2 |
| 18 |
| y2 |
| 9 |
点评：本题考查数列与解析几何的综合应用，难度大，较繁琐，易出错．通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过数列与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．
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