Question

已知函数f（x）=4cosx（sinx+cosx）-a的最大值为2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和正弦公式化简f（x）为 2

2

sin(2x+

π

4

)+2-a，由 2

2

+2-a=2，求得a的值及函数的周期．
（2）由 -

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，求出x的范围，即得f（x）的单调增区间，将此区间和∈[0，π]
取交集，即得所求．

解答：解：（1）f（x）=4cosx•sinx+4cos²x-a=2sin2x+2cos2x+2-a=2

2

sin(2x+

π

4

)+2-a，
∴当sin(2x+

π

4

)=1时，f（x）取得最大值2

2

+2-a，又f（x）的最大值为2，∴2

2

+2-a=2，
即a=2

2

，f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x+

π

4

)+2-2

2

，∴-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
∴-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调增区间为[0，

π

8

] 和 [

5π

8

，π]．

点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，周期性，化简f（x）的解析式，是解题的突破口．