Question

如图，从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，PN的长为a米，NM的长为2a米，在P处测得M、N的仰角分别为45°，30°，在N处测得M的仰角为30°．
（1）求此山的高度；
（2）试求平面PMN与水平面所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）过M作MA垂直过P的水平面于A，过N作NB垂直过P的水平面于B，则MA∥NB，连接AB，PA，PM，PB，过N作NH⊥MA于H，可得：四凌锥P-ABNM的底面ABNM为直角梯形，从而可求山的高度；
（2）解法1：利用面积射影法，分别求得S△MNP=

1

2

NP•NM•

1-cos2∠PNM

=

3 7

8

a2，
S△ABP=

1

2

AP•PB=

3 3

8

a2，从而可求平面PMN与水平面所成角的余弦值；
解法2：以A为原点AB、AM分别为y、z轴建立直角坐标系，求出平面MNP的一个法向量

n

=(1，

3

3

，1)，水平面PAB的一个法向量

m

=

AM

=(0，0，

3

2

)，利用向量的夹角公式，即可求得平面PMN与水平面所成角的余弦值；
解法3：设直线MN与AB交于点C，连PC，过B作BD垂直于PC于点D，连ND．则∠NDB为所求二面角的平面角，可求得tan∠NDB=

2 3

3

，从而可得平面PMN与水平面所成角的余弦值．

解答：解：（1）如图，过M作MA垂直过P的水平面于A，过N作NB垂直过P的水平面于B，则MA∥NB
连接AB，PA，PM，PB，过N作NH⊥MA于H，
依题意得：四凌锥P-ABNM的底面ABNM为直角梯形，∠NPB=30°，∠MPA=45°，∠MNH=30°，
∴NB=NPsin30°=

1

2

a，MH=

1

2

MN=a
山高MA=MH+HA=MH+NB=

1

2

MN+

1

2

NP=

3

2

a米         
（2）
解法1：设平面PMN与水平面所成角为θ，则AP=MA=

3

2

a，MP=

3 2

2

a，AB=

3

a，PB=

3

2

a
△MNP中，cos∠MNP=

NP2+NM2-MN2

2NP•NM

=

1

8

∴S△MNP=

1

2

NP•NM•

1-cos2∠PNM

=

3 7

8

a2，
∵△APB为直角三角形，∴S△ABP=

1

2

AP•PB=

3 3

8

a2
∴cosθ=

S△ABP

S△MPN

=

21

7

解法2：以A为原点AB、AM分别为y、z轴建立直角坐标系，不妨设a=1，则M(0，0，

3

2

)，N(0，

3

，

1

2

)，P(

3

4

，

3 3

4

，0)

PM

=(-

3

4

，-

3 3

4

，

3

2

)，

PN

=(-

3

4

，

3

4

，

1

2

)
设平面MNP的一个法向量

n

=(x，y，z)，则

n • PM =0 n • PN =0

即

- 3 4 x- 3 3 4 y+ 3 2 z=0 - 3 4 x+ 3 4 y+ 1 2 z=0

令x=1，解得

n

=(1，

3

3

，1)
又水平面PAB的一个法向量

m

=

AM

=(0，0，

3

2

)，
设平面PMN与水平面所成角为θ，则|cosθ|=

| m • n |

| m |•| n |

=

3 2 •1

3 2 1+ 1 3 +1

=

21

7

，
∴平面PMN与水平面所成角的余弦值为

21

7

．
解法3：设直线MN与AB交于点C，连PC，过B作BD垂直于PC于点D，连ND．
则∠NDB为所求二面角的平面角                    
由MA∥NB，MA=

3

2

a，NB=

1

2

a得BC=

3

2

a，BD=

3

4

a，tan∠NDB=

2 3

3

，
∴cos∠NDB=

21

7

∴平面PMN与水平面所成角的余弦值为

21

7

．

点评：本题主要考查空间线面关系、空间角、解三角形等基础知识；考查空间想象能力，考查运算求解能力以及分析问题解决问题的能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想．