Question

已知数列{a_n}满足：an=

a n 2 + 1 4 ，n为偶数 2a n+1 2 -a+ 1 2 ，n为奇数

（n∈N^*，a∈R，a为常数），
数列{b_n}中，bn=a22n-1．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）证明：数列{b_n}为等差数列；
（3）求证：数列{b_n}中存在三项构成等比数列时，a为有理数．

Answer 1

分析：（1）由已知a1=2a1-a+

1

2

，得a1=a-

1

2

，a2=a1+

1

4

=a-

1

4

，a3=2a2-a+

1

2

=a．
（2）bn=a22n-1=2a22n-1-a+

1

2

，由此能推导出b_n+1-b_n=1，又b₁=a₃=a，所以数列{b_n}是等差数列．
（3）由b_n=a+n-1，知若三个不同的项a+i，a+j，a+k成等比数列，i、j、k为非负整数，且i＜j＜k，则（a+i）²=（a+j）
（a+k），得a（i+k-2j）=j²-ik，由此讨论知a是有理数．

解答：解：（1）由已知a1=2a1-a+

1

2

，得a1=a-

1

2

，a2=a1+

1

4

=a-

1

4

，a3=2a2-a+

1

2

=a．（4分）
（2）bn=a22n-1=2a22n-1-a+

1

2

，bn+1=a22n+2-1=2a22n+1-a+

1

2

=2(a22n+

1

4

)-a+

1

2

=2a22n-a+1=2(a22n-1+

1

4

)-a+1=2a22n-1-a+

3

2

∴b_n+1-b_n=1，又b₁=a₃=a，
∴数列{b_n}是首项为a，公差为1的等差数列．（9分）

（3）证明：由（2）知b_n=a+n-1，（10分）
若三个不同的项a+i，a+j，a+k成等比数列，
i、j、k为非负整数，且i＜j＜k，则（a+j）²=（a+i）（a+k），
得a（i+k-2j）=j²-ik，（12分）
若i+k-2j=0，则j²-ik=0，得i=j=k，这与i＜j＜k矛盾．（14分）
若i+k-2j≠0，则a=

j2-ik

i+k-2j

，
∵i、j、k为非负整数，
∴a是有理数．（16分）

点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．