Question

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m=，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为，，，所以，由此根据实数m的取值，能判断该方程所表示曲线的形状．
（2）当m=时，轨迹E的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，解方程组，得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，由此证明存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．
解答：解：（1）因为，，，
所以，即mx²+y²=1．
当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
当m=1时，方程表示圆；
当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；
当m＜0时，方程表示的是双曲线．
（2）当m=时，轨迹E的方程为，
设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，
解方程组，
得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B，
则使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0，
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，
且
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）
=
=+t²=，
要使，需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即=，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，
即4k²+4＜20k²+5恒成立．
所以又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，=，
所求的圆为．
当切线的斜率不存在时，切线为，
与交于点或也满足OA⊥OB．
综上，存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．
点评：本题考查方程所表示曲线形状，考查圆的方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和圆锥曲线的位置关系的综合应用．