Question

（2013•广元一模）已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n其前n项和，且a_n+1=2S_n+n²-n+1，
①设b_n=a_n+1-a_n，求数列{b_n}的 前n项和T_n；
②求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：①利用数列递推式，再写一式，两式相减，证明{b_n+1}是以3为公比，3为首项的等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论；
②利用叠加法，可求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：①∵a_n+1=2S_n+n²-n+1，
∴n≥2时，a_n=2S_n-1+（n-1）²-（n-1）+1，
两式相减可得a_n+1-a_n=2a_n+2n-2，
∵a₁=1，∴a₂=3，也满足上式，怎么
∴a_n+1-3a_n=2n-2
∴n≥2时，a_n-3a_n-1=2（n-1）-2
∵b_n=a_n+1-a_n，∴两式相减可得，n≥2时，b_n-3b_n-1=2
∴b_n+1=3（b_n-1+1）
∵b₁+1=3≠0，∴{b_n+1}是以3为公比，3为首项的等比数列
∴b_n+1=3ⁿ，
∴b_n=3ⁿ-1，
∴T_n=

3(1-3n)

1-3

-n=

1

2

•3n+1-n-

3

2

；
②由①知，a_n+1-a_n=3ⁿ-1
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=3⁰+3¹+…+3^n-1-（n-1）=

1

2

(3n+1)-n

点评：本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．