题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
cosA-2cosC
cosB
=
2c-a
b
．
（1）求
sinA
sinC
的值； 
（2）若cosB=
1
4
，△ABC的周长为5，求b的长．
分析：（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简得到sinC=2sinA，即可求出所求式子的值；
（2）第一问得出的结论利用正弦定理化简得到c=2a，利用余弦定理列出关系式，将c=2a及cosA的值代入得到b=2a，根据已知周长求出a的值，即可确定出b的值．
解答：解：（1）利用正弦定理化简已知等式得：
cosA-2cosC
cosB
=
2sinC-sinA
sinB
，
整理得：sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，
即sinAcosB+cosAsinB=2（sinBcosC+cosBsinC），
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则
sinA
sinC
=
1
2
；
（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得：c=2a，
利用余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-a2=4a2，即b=2a，
∵△ABC周长a+b+c=5，即a+2a+2a=5，
解得：a=1，
则b=2a=2．
点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，则下列关系一定不成立的是（　　）
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面积．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
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（2）若a=4，c=3，D为BC的中点，求△ABC的面积及AD的长度．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c并且满足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．
在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，则sinA=
 
．

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