Question

若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取的一个数，
（1）有序数对（a，b）共有多少个？将结果列举出来．
（2）求

a

≤

b

-1成立的概率．
（3）设函数f(x)=

x2+(a+1)x+a

x

(x＞0)，求f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）利用分步乘法原理和列举法即可得出；
（2）验证条件“

a

≤

b

-1”即可找出；
（3）利用基本不等式可得：f(x)＞b恒成立就转化为(

a

+1)2＞b成立．经验证即可得出要求事件包括的基本事件，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．

解答：解：（1）基本事件总数=

C

1 3

×

C

1 4

=12个，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
（2）设事件A为“

a

≤

b

-1”，事件A包含事件：（1，4），（1，5）．
由古典概型得P=

2

12

=

1

6

．
（3）设事件B：“f（x）＞b恒成立”，则x＞1，a＞0，
f(x)=

x2+(a+1)x+a

x

(x＞0)=x+

a

x

+a+1≥2

a

+a+1=(

a+1

)2，
∴f(x)min=(

a

+1)2，
于是f(x)＞b恒成立就转化为(

a

+1)2＞b成立．
则事件B包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个．
由古典概型得P(B)=

10

12

=

5

6

．

点评：熟练掌握分步乘法原理、列举法、古典概型的概率计算公式及利用基本不等式把问题正确等价转化是解题的关键．