Question

21.设F₁、F₂分别为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.

（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；

（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值，试对双曲线＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

Answer 1

21.

解：(1)椭圆C的焦点在x轴上.

由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.

 

又点A(1，)在椭圆上，因此＝1得b²＝3，于是c²＝a²－b²＝1.

 

所以椭圆C的方程为＝1，焦点F₁(－1，0)，F₂(1，0).  

 

(2)设椭圆C上的动点为K(x₁，y₁)，线段F₁K的中点Q(x，y)满足：

x＝

∴x₁＝2x+1，y₁＝2y，                                                                

因此，

即(x+)²+＝1为所求的轨迹方程.                                     

(3)类似的性质为：若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值.

设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1.

又设点P的坐标为(x，y).

 

由k_PM＝，k_PN＝，

 

得k_PM·k_PN＝·，

 

将y²＝－b²，n²＝m²－b²代入得k_PM·k_PN＝.