Question

已知函数f （x）=log_a x （a＞0且a≠1），若数列：2，f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），2n+4 （n∈N^﹡）为等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若a=2，b_n=a_n•f （a_n），求数列{b_n}前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下对任意的n∈N^﹡，都有b_n＞f ^-1（t），求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意2n+4=2+（n+2-1）d求得：d=2，
所以f （a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，求得：a_n=a²ⁿ⁺²．（4分）
（2）b_n=a_n•f （a_n）=（2n+2）a²ⁿ⁺²=（n+1）•a²ⁿ⁺³
S_n=2•2⁵+3•2⁷+4•2⁹+…+（n+1）•2²ⁿ⁺³，
4S_n=2•2⁷+3•2⁷+4•2¹¹+…+（n+1）•2^2（n+1）+3，
错位相减得：
S_n=（8分）
（3）∵•4＞1，
∴{ b_n }为递增数列．b_n中的最小项为：b₁=2•2⁵=2⁶，f^-1（t）=2^t，
对任意的n∈N^﹡，都有b_n＞f ^-1（t），可得2⁶＞2^t，
∴t＜6．（14分）
分析：（1）由数列：2，f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），2n+4 （n∈N^﹡）为等差数列．可得出2n+4=2+（n+2-1）d求得：d=2，由此可求出f （a_n），进而即可求出数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若a=2，b_n=a_n•f （a_n），可先解出b_n=a_n•f （a_n）=（2n+2）a²ⁿ⁺²=（n+1）•a²ⁿ⁺³，由此通项公式的形式知，可用错位相减法求得数列{b_n}前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下对任意的n∈N^﹡，都有b_n＞f ^-1（t），故可由•4＞1，得出数列是一个递增的数列，由此得出b_n的最小值，令最小值大于f ^-1（t），解此不等式即可得出实数t的取值范围
点评：本师考查等差数列的性质与等比数列的性质，数列单调性，解不等式，错位相减法求和，综合性强，解题的关键是将题设中的问题正确转化，熟练运用等差等比数列的性质及错位相减法是解题的重点．