Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+lnx．
（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（2）已知a＞1，求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=ax²的图象的下方．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．
（2）欲证明函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方，令F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+lnx-ax2，即证：

1

2

x2+lnx＜ax2利用导数研究函数F（x）单调性r和极值即可证得结论，

解答：解：（1）∵f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

（2分）
当x∈[1，e]时，f'（x）＞0．∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．（4分）
∴fmax(x)=f(e)=1+

e2

2

， fmin(x)=f(1)=

1

2

．（6分）
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+lnx-ax2，
则F′(x)=x+

1

x

-2ax=

(1-2a)x2+1

x

．（8分）∵a＞1，∴1-2a＜-1
所以，当x＞1时，F'（x）＜0．∴F（x）在区间（1，+∞）上为减函数．（10分）
又函数F（x）在x=1处连续，且F(1)=

1

2

+0-a＜0．（11分）
∴F（x）＜F（1），即

1

2

x2+lnx-ax2＜0，即

1

2

x2+lnx＜ax2
所以在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方．（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．