Question

已知函数f（x）=
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在[]上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞…恒成立．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=+lnx
∴f′（x）=（a＞0）
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴f′（x）=≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥对x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（2）当a=1时，f′（x）=，
∴当x∈[，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[，1）上单调递减；
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上单调递增，
∴f（x）在区间[，2]上有唯一极小值点，故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0
又f（ ）=1-ln2，f（2）=-+ln2，f（ ）-f（2）=-2ln2=
∵e³＞16
∴f（ ）-f（2）＞0，即f（ ）＞f（2）
∴f（x）在区间[，2]上的最大值f（x）max=f（ ）=1-ln2．
综上可知，函数f（x）在[，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）当a=1时，f（x）=+lnx，f′（x）=，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（ ）=+ln =-+ln ＞0，即ln ＞
∴ln ＞，ln ＞，ln ＞，…，ln ＞
∴ln +ln +ln +…+ln ＞+++…+
∴lnn＞+++…+
即对大于1的任意正整数n，都有lnn＞+++…+．
分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范围．
（2）将a=1代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值．
（3）先判断函数f（x）的单调性，令x=代入函数f（x）根据单调性得到不等式ln＞，令n=1，2，…代入可证．
点评：此题是个中档题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力．