Question

已知函数f（x）=a^x-1（x≥0）的图象经过点（2，

1

2

），其中a＞0，a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）=a^x-1（x≥0）的值域．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=a^x-1（x≥0）的图象经过点（2，

1

2

），可得

1

2

=a2-1，由此求得a的值．
（2）由（1）知f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)在[0，+∞）上为减函数，f（0）=2，再由指数函数的值域求出f（x）=a^x-1（x≥0）的值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）=a^x-1（x≥0）的图象经过点（2，

1

2

），
∴

1

2

=a2-1，解得a=

1

2

，
∴f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)．
（2）由（1）知f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)，又∵0＜

1

2

＜1，
∴f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)在[0，+∞）上为减函数，
又∵f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)的定义域为[0，+∞），且f（0）=2，
∴f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)的值域为（0，2]．

点评：本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的值域，属于中档题．