Question

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2

Sn

=an+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

an•an+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据2

S1

=a1+1求得a₁，进而根据4S_n=（a_n+1）²和4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2）两式相减整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，进而可得a_n-a_n-1=2判断出数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．求得其通项公式．
（Ⅱ）把（1）中求得的a_n代入bn=

1

an•an+1

中，即可求得b_n，进而可用裂项法进行求和，得T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)根据

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

使原式得证．

解答：解：（Ⅰ）∵2

S1

=a1+1，
∴a₁=1．
∵a_n＞0，2

Sn

=an+1，
∴4S_n=（a_n+1）²．①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2）．②
①-②，得4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
而a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
T_n=b₁+b₂++b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和问题是高考中常考的题目，所以我们平时的时候应注意多积累数列求和的方法．