Question

在等差数列{a_n}中,若a₁₀=0,则有等式a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n(n<19,n∈N^*)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{b_n}中,若b₉=1,则有等式_________成立.

      

Answer 1

解析:∵a₁₀=0,?

       ∴a₁+a₁₉=a₂+a₁₈=…=a_19-n+a_n+1=…=2a₁₀=0.?

       ∴a₁+a₂+…+a_19-n=-(a₁₉+a₁₈+…+a_n+1).?

       又∵S₁₉=a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+…+a₁₉??

       ==19a₁₀=0,?

       ∴a₁+a₂+…+a_n=-(a_n+1+a_n+2+…+a₁₉).?

       ∴a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n.?

       我们从更一般的角度来分析等差数列{a_n}.?

       由题设,如果a_k=0,那么有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_2k-1-n(n<2k-1,n∈N^*)成立.?

       又如果k+n=p+q,其中k、n、p、q是自然数,?

       对于等差数列{a_n},则有a_k+a_n=a_p+a_q;?

       对于等比数列{b_n},则有b_kb_n=b_pb_q.?

       这样我们可以得出结论.?

       如果b_k=1,则有等式?

       b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_2k-1-n(n<2k-1,n∈N^*)①?

       成立.结合本题k=9.?

       2k-1-n=2×9-1-n=17-n.?

       ∴应填b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_17-n(n<17,n∈N^*).?

       证明:∵b₉=1,?

       ∴b₁b₁₇=b₂b₁₆=…=b_n+1b_17-n=…=b₉²=1.?

       ∴(b₁b₁₇)(b₂b₁₆)…(b₈b₁₀)b₉=1.?

       ∴b₁b₂…b_nb_n+1…b₁₇=1(n<17,n∈N^*).?

       ∴b₁b₂…b_n=.?

       又∵=b₁,=b₂,…,=b_17-n,?

       ∴b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_17-n(n<17,n∈N^*).?

       答案:b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_17-n(n<17,n∈N^*)