Question

【题目】设常数，函数.

（1）令时，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；

（2）求证：在上是增函数；

（3）求证：当时，恒有.

Answer 1

【答案】（1）最小值为，最小值大于零.（2）证明见解析.（3）证明见解析

【解析】

（1）对函数进行求导，确定函数的解析式，再对函数求导，列表判断出该函数的单调性以及极值，最后确定函数的最小值，再判断的最小值与零的大小即可；

（2）利用（1）中的结论，可以判断出函数的正负性，进而能证明出的单调性；

（3）利用（2）中的结论进行证明即可.

（1）因为，

所以.

所以，

所以，令，得.

列表如下：

		2
		0
	减	极小值	增

所以在处取得极小值，

即的最小值为，

因为，所以，

又，所以即的最小值大于零.

（2）由（1）知，的最小值为正数，

所以对一切，恒有.

从而当时，恒有，故在上是增函数.

（3）由（2）知在上是增函数，

所以当时，.

又，

所以，即，

所以，

故当时，恒有.