Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a1=

1

2

且a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）求证{

1

Sn

}是等差数列，并求出a_n的表达式；
（Ⅱ） 若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

（I）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
又a_n+2S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），
若S_n=0，则a_n=0，
∴a₁=0与a₁=

1

2

矛盾
∴S_n≠0，S_n-1≠0．
∴

1

Sn-1

-

1

Sn

+2=0即

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
又

1

S2

-

1

S1

=2．
∴{

1

Sn

}是首项为2，公差为2的等差数列
由（I）知数列{

1

Sn

}是等差数列．
∴

1

Sn

=2+（n-1）•2=2n即S_n=

1

2n

∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

，
又当n=1时，S₁=a₁=

1

2

，
∴a_n=

1 2 ，(n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2)

，
（Ⅱ）证明：由（I）知b_n=2（1-n）•

1

2n(1-n)

=

1

n

（n≥2）
∴b₂²+b₃²+…+b_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=1-

1

n

＜1