题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）把f（x）的图象向右平移m个单位后，在 $数学公式$ 是增函数，当|m|最小时，求m的值．

解：（ I）f（x）=2cosxcos（x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ sin²x+sinxcosx
=2cosx（cosxcos $\text{[math]}$ +sinxsin $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ sin²x+sinxcosx
= $\text{[math]}$ cos²x+sinxcosx- $\text{[math]}$ sin²x+sinxcosx
= $\text{[math]}$ （cos²x-sin²x）+2sinxcosx
= $\text{[math]}$ cos2x+sin2x
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）…（4分）
∴T= $\text{[math]}$ =π…（6分）
（II）g（x）=2sin（2x-2m+ $\text{[math]}$ ）…（8分）
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x-2m+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得单调递增区间为[- $\text{[math]}$ +m+kπ， $\text{[math]}$ +m+kπ]，
∵g（x）在 $\text{[math]}$ 是增函数，
∴- $\text{[math]}$ +m+kπ=0，m= $\text{[math]}$ -kπ，…（10分）
∴当|m|最小时，m= $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（Ⅰ）利用两角差的余弦公式与二倍角公式将f（x）=2cosxcos（x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ sin²x+sinxcosx化为f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）及可求其周期；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象向右平移m个单位后，得到g（x）=2sin（2x-2m+），可求其单调增区间为[- $\text{[math]}$ +m+kπ， $\text{[math]}$ +m+kπ]，再结合g（x）在 $\text{[math]}$ 是增函数，即可求得|m|最小值．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，综合考察了两角差的余弦公式与二倍角公式、辅助角公式的应用，考查了正弦函数的单调性，求最值问题等，熟练掌握三角函数公式与三角函数性质是解决问题的关键，属于难题．