Question

13．已知a，b，x，y∈R⁺，且$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$=1，求x+y的最小值．

Answer 1

分析 整体代入可得x+y=（$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$）（x+y）=a+b+$\frac{ay}{x}$+$\frac{bx}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a，b，x，y∈R⁺，且$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$=1，
∴x+y=（$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$）（x+y）=a+b+$\frac{ay}{x}$+$\frac{bx}{y}$
≥a+b+2$\sqrt{\frac{ay}{x}•\frac{bx}{y}}$=a+b+2$\sqrt{ab}$=$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}$
当且仅当$\frac{ay}{x}$=$\frac{bx}{y}$时取等号，
联立$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$=1和$\frac{ay}{x}$=$\frac{bx}{y}$可得x=a+$\sqrt{\frac{a}{b}}$且y=$\sqrt{ab}$+1时，x+y取最小值$（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入化为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．