Question

判断下列函数的奇偶性
①y=x3+

1

x

；       
②y=

2x-1

+

1-2x

；
③y=x⁴+x；       
④y=

x2+2(x＞0) 0(x=0) -x2-2(x＜0)

．

Answer 1

分析：①根据分母不为零求出函数的定义域，先判断是否关于原点对称，再验证f（-x）与-f（x）的关系，最后下结论；
②根据偶次被开方数大于等于零求出函数的定义域，判断出不关于原点对称，再下结论；
③由解析式不受任何限制求出定义域为R，再验证f（-x）与-f（x）的关系，最后下结论；
④将解析式中的范围并在一起求出定义域为R，再分类讨论x＞0时和x＜0时f（-x）与-f（x）的关系，注意x的范围代入对应的关系式，最后下结论．

解答：解：①由x≠0得，即函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，且f（-x）=-x3-

1

x

=-f（x），故函数是奇函数．
②由

2x-1≥0 1-2x≥0

得，x=

1

2

，则定义域为{

1

2

}不关于原点对称．该函数不具有奇偶性．
③定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=x⁴-x≠x⁴+x，f（-x）=x⁴-x≠-（x⁴+x），故其不具有奇偶性．
④定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f（-x）=-（-x）²-2=-（x²+2）=-f（x）；
当x＜0时，f（-x）=（-x）²+2=-（-x²-2）=-f（x）；
当x=0时，f（0）=0；故该函数为奇函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性判断方法，先由解析式求出求出函数的定义域并判断是否关于原点对称，若不对称再下结论；否则，验证f（-x）与-f（x）的关系，最后下结论．