Question

[x]表示不超过x的最大整数，正项数列{a_n}满足a₁=1，

an2an-12

an-12-an2

=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）m∈N^*，求证：

1

2m+1

+

1

2m+2

+…+ 

1

2m+1

＞

1

2

；
（3）求证：

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

＞

1

2

[log2n ](n＞2)．

Answer 1

分析：（1）根据

an2an-12

an-12-an2

=1，取其倒数，即可求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）

1

2m+1

+

1

2m+2

+…+

1

2m+1

＞

1

2m+1

+

1

2m+1

+…+

1

2m+1

=

1

2m+1

×2m＞ 

1

2

（3）证明：

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，设n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
则

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

(m+1)，又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2从而m+1≤log₂n＜m+2，故可得证．

解答：解：（1）∵

an2an-12

an-12-an2

=1
∴

1

a 2 n

-

1

a 2 n-1

=1
∵

1

a 2 1

=1
∴

1

a 2 n

=n
∴an=

1

n

；
（2）证明：

1

2m+1

+

1

2m+2

+…+

1

2m+1

＞

1

2m+1

+

1

2m+1

+…+

1

2m+1

=

1

2m+1

×2m＞ 

1

2

（3）证明：

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

1

2

=

1

2

，

1

3

+

1

4

＞

1

22

+

1

22

=

1

2

，…，

1

9

+

1

10

+…+

1

16

＞

1

24

+

1

24

+…+

1

24

=

1

2

设n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
则

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

(m+1)
又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2
从而m+1≤log₂n＜m+2
∴[log₂n]=m+1
所以，

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

[log2n]
∴

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

＞

1

2

[log2n ](n＞2)．

点评：本题以数列的递推式为载体，考查数列的通项，考查不等式的证明，同时考查新定义的理解，属于中档题．