题目内容

已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx-1．
（1）若函数h（x）=g（x）+1- $数学公式$ f（x）-2x存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．

解：（1）h（x）=lnx- $\text{[math]}$ -2x（x＞0），
h′（x）= $\text{[math]}$ -ax-2．
若使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）= $\text{[math]}$ -ax-2＜0在（0，+∞）上有解．
而当x＞0时， $\text{[math]}$ -ax-2＜0?ax＞ $\text{[math]}$ -2?a＞ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 问题转化为
a＞ $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上有解，故a大于函数 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上的最小值．
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1， $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上的最小值为-1，所以a＞-1．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx+1（a＞0）
函数f（x）=ax与g（x）=lnx-1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数．
F′（x）=a- $\text{[math]}$ （x＞0）
令F（x）=a- $\text{[math]}$ =0解得x= $\text{[math]}$ ．
随着x的变化，F（x），F（x）的变化情况如表：

（7分）
①当F（ $\text{[math]}$ ）=2+lna＞0，即a=e^-2时，F（x）恒大于0，函数F（x）无零点．（8分）
②当F（ $\text{[math]}$ ）=2+lna=0，即a=e^-2时，由上表，函数F（x）有且仅有一个零点．
③F（ $\text{[math]}$ ）=2+lna＜0，即0＜a＜e^-2时，显然1＜ $\text{[math]}$
F（1）=a+1＞0，所以F（1）F（ $\text{[math]}$ ）＜0•，
又F（x）在（0， $\text{[math]}$ ）内单调递减，
所以F（x）在（0， $\text{[math]}$ ）内有且仅有一个零点
当x＞ $\text{[math]}$ 时，F（x）=ln $\text{[math]}$
由指数函数y=（e^a）^x（e^a＞1）与幂函数y=x增长速度的快慢，知存在x₀＞ $\text{[math]}$
使得 $\text{[math]}$ 从而F（x₀）=ln $\text{[math]}$
因而F（ $\text{[math]}$ ）•F（x₀＜0）
又F（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞）内单调递增，
F（x）在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上的图象是连续不断的曲线，
所以F（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞）内有且仅有一个零点．
因此，0＜a＜e^-2时，F（x）有且仅有两个零点．
综上，a＞e^-2，f（x）与g（x）的图象无交点；
当a=e^-2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点；
0＜a＜e^-2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有两个交点．
分析：（1）先求出函数h′（x），欲使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后利用分离法可得a＞ $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上有解，故a大于函数 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上的最小值即可．
（2）先令F（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx+1（a＞0），函数f（x）=ax与g（x）=lnx-1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数，利用导数研究函数F（x）的最小值，比较最小值与0的大小即可得到F（x）的零点的个数．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系等基础题知识，考查了转化和划归的数学思想，属于中档题．