题目内容

已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l的斜率的取值范围是
（
2
，+∞）
（
2
，+∞）
．
分析：先根据点A在抛物线上，求得A的坐标表达式，根据点A在双曲线上，表示出点A的表达式，进而可推断出2c=
b2
a
，最后通过
b
a
，利用不等式，求得l的斜率的范围．
解答：解：点A在抛物线上，即A（
p
2
，p），点A在双曲线上，即A（c，
b2
a
），所以有2c=
b2
a
，
l的斜率
b
a
=
b2
a2
＞
b2
ac
=
2
．
故答案为：（
2
，+∞）
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
练习册系列答案
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已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．
（1）求抛物线上任意一点Q到定点N（2p，0）的最近距离；
（2）过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M，当M不在x轴上时，证明：
kMA+kMBkMF
是一个定值，并求出这个值．（其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率）
已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．
（2009•聊城一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），过点M（2p，0）的直线与抛物线相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．
已知抛物线y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是抛物线上的两点．求证：直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB，其中O是坐标原点．

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