Question

设f（x）=ax²+bx+1，（a，b为常数）．若f(

1

2

)=0，且f（x）的最小值为0，
（1）若g(x)=

f(x)+k-1

x

在[1，2]上是单调函数，求k的取值范围．
（2）若g(x)=

f(x)+k-1

x

，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx+1，f(

1

2

)=0，f（x）的最小值为0，解得（x）=4x²-4x+1．所以g(x)=

f(x)+k-1

x

=4x+

k

x

-4≥2

4x• k x

-4=4

k

-4，再由g(x)=

f(x)+k-1

x

在[1，2]上是单调函数，能求出k的取值范围．
（2）当x₀∈[-2，2]时，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2时取最大值f（x₀）_max=25．故g(x)=

f(x)+k-1

x

=4x+

k

x

-4＜25在[1，2]恒成立，等价于4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，由此能求出k的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1，f(

1

2

)=0，f（x）的最小值为0，
∴

a 4 + b 2 +1=0 4a-b2 4a =0

，解得a=4，b=-4，
∴f（x）=4x²-4x+1．
∴g(x)=

f(x)+k-1

x

=

4x2-4x+1

x

=4x+

k

x

-4≥2

4x• k x

-4=4

k

-4，
当且仅当4x=

k

x

，即x=

k

2

时，g（x）取最小值4

k

-4．
∵g(x)=

f(x)+k-1

x

在[1，2]上是单调函数，
∴

k

2

≤1，或

k

2

≥2，
解得k≤4，或k≥16．
（2）∵g(x)=

f(x)+k-1

x

，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．
当x₀∈[-2，2]时，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2时取最大值f（x₀）_max=f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．
∴g(x)=

f(x)+k-1

x

=4x+

k

x

-4＜25在[1，2]恒成立，
∴4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，
∴k＜25．
∴k的取值范围是（-∞，25）．

点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理、二次函数的灵活运用．