Question

如图所示，已知直线的斜率为且过点,抛物线, 直线与抛物线有两个不同的交点， 是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点,点为抛物线上一动点.

（1）求的最小值；

 (2)求的取值范围；

（3）若为坐标原点，问是否存在点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出动点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：如图，设抛物线的准线为， 过作于，过作于，

（1）由抛物线定义知

(折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号.由题意知,即

的最小值是8………...4分

(2) ……...5分

（3）假设存在点，设过点的直线方程为，

显然，，设，，由以为直径的圆恰过坐标

原点有………… ……………………...①……9分

把代人得由韦达定理　 ………………….………………②

又 　　　….③

②代人③得　　　　　　　　　 　　　 ……… .④

②④代人①得…　　　　　　　　　　 …12分

动直线方程为必过定点

当不存在时，直线交抛物线于,仍然有，　　　　　 综上：存在点满足条件……………15分