Question

设直线l₁和l₂相交于点R，l₁⊥l₂，M、N∈l₁，|MN|=4，M分

RN

所成比为

5

4

，记到点N的距离比它到直线l₂的距离小1的点的轨迹为曲线C，在曲线C上取点A₁，B₁，A₂
B₂，p₁、p₂分别是A₁B₁和A₂B₂的中点，且A₁B₁⊥A₂B₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）求点p₁和p₂到直线l₁距离的乘积．

Answer 1

分析：（1）先以l₁为x轴，过M且垂直于l₁的直线为y的轴，建立直角坐标系根据题意可求得曲线的方程．
（2）由（1）可设A₁，B₁，A₂，B₂的坐标，即研究A₁B₁和A₂B₂的中点纵坐标绝对值之积．

解答：解：（1）以l₁为x轴，过M且垂直于l₁的直线为y的轴，
建立直角坐标系，点M为坐标原点，此时，
点N的坐标为（4，0），直线l₂的方程为x+5=0．
由题意可知．曲线方程是y²=16x．

（2）设A₁，B₁，A₂，B₂的坐标依次为：
（

y12

16

，y₁），（

y22

16

，y2），（

y32

16

，y3），（

y43

16

，y4）．
若y₁²=y₂²，由于A₁，B₁是不同点，
∴y₁=-y₂≠0，
∴AB⊥x轴，从而A₂B₂∥x轴．
由于平行于x轴的直线与抛物线只能有一个交点矛盾，
∴y₁²≠y₂²，
同理y₃²≠y₄²，
A₁B₁斜率为

16

y1+y2

，
A₂B₂的斜率为

16

y3 +y4

．
由于A₁B₁⊥A₂B₂
得（y₁+y₂）（y₃+y₄）=-16²．
因P₁，P₂的纵坐标分别为

y1+ y2

2

，

y3+y4

2

，
∴它们的乘积为（

y1+ y2

2

）（

y3+y4

2

）=-64，
点P₁和P₂到直线l₁的距离的乘积为64．

点评：本师主要考查直角坐标系的建立及曲线方程的求法和应用．