题目内容
已知函数f（x）=
+lnx
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）设a＞1，b＞0，求证：
＜ln
＜
．
| 1-x |
| ax |
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）设a＞1，b＞0，求证：
| 1 |
| a+b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
分析：（Ⅰ）求出f′（x），函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而可转化为函数的最值问题解决；
（Ⅱ）根据f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f（
）＞f（1），从而可证明
＜ln
；构造函数g（x）=x-lnx（x＞1），易判g（x）在（1，+∞）上是增函数，可得x＞1时g（x）＞g（1），由此可证明ln
＜
．
（Ⅱ）根据f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f（
| a+b |
| b |
| 1 |
| a+b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
解答：（Ⅰ）解：f′(x)=
，a＞0，
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f′(x)=
≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即a≥
对x∈[1，+∞）恒成立，
a≥(
)max=1，即a≥1．
故正实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）证明：一方面，由（1）知，f(x)=
+lnx在[1，+∞）上是增函数，
所以f(
)＞f(1)=0，即
+ln
＞0，即ln
＞
．
另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-
=
＞0（x＞1），
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，
又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln
＜
．
综上，
＜ln
＜
．
| ax-1 |
| ax2 |
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f′(x)=
| ax-1 |
| ax2 |
即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即a≥
| 1 |
| x |
a≥(
| 1 |
| x |
故正实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）证明：一方面，由（1）知，f(x)=
| 1-x |
| ax |
所以f(
| a+b |
| b |
1-
| ||
a•
|
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
| 1 |
| a+b |
另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-
| 1 |
| x |
| x-1 |
| x |
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，
又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
综上，
| 1 |
| a+b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| b |
点评：本题考查导数与函数单调性的关系以及应用导数证明不等式问题．f′（x）≥0（不恒为0）是可导函数f（x）在某区间上递增的充要条件．
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，g（x）=1+
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| 1 |
| |x| |
| x+|x| |
| 2 |
| A、（-∞，-1）∪（0，1） | ||||
B、(-∞，-1)∪(0，
| ||||
C、(-1，0)∪(
| ||||
D、(-1，0)∪(0，
|