题目内容

已知数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（1）证明{ $数学公式$ }为等比数列，并求出通项公式a_n；
（2）设 $数学公式$ ，{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜1．

证明：（1）∵a_n+1（a_n+1）=2a_n
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）
∵a₁=2，∴ $\text{[math]}$
∴{ $\text{[math]}$ }为首项为- $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列
∴ $\text{[math]}$ ，
∴a_n= $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴{b_n}的前n项和为S_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜1
∴S_n＜1．
分析：（1）将数列递推式取倒数，再两边减去1，即可证得{ $\text{[math]}$ }为等比数列，从而可求出通项公式a_n；
（2）将数列通项裂项，再累加求和，即可证得结论．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的递推关系，同时考查了计算能力，属于中档题．